capes 2005

Exposé CAPES 2005 :

Voici mon site perso qui comprend mes leçons préparées au cours de l année 2005.

Elles ne sont absolument pas parfaites mais elles peuvent vous aider à préparer vos propres leçons.

Au niveau de la taille de mes exposés j ai pris soin de vérifier qu’elles étaient faisables dans le temps impartis (C’est a dire 25 minutes).
Bien sur cela correspond à ma vitesse d écriture et de diction.

Pour ce qui est de mon passage á l'oral je suis passe sur l'expose 21 (j avais le choix avec cette lecon et l'expose sur les suites divergentes). J ai fait exactement l expose que je présente un peu plus loin
plus au niveau des application j'ai fait la construction du pintagone régulier a la règle et au compas qui utilise les polynômes du second degré. (Voir expose 17 pour plus de détails)

Au niveau des questions j'ai eu la simple résolution d'une équation du second degré. Et après j'ai eu:" A partir de la construction de la courbe x->x² par quelle transformation géométrique peut on construire la courbe x->ax²? " Il s'agit donc de l'affinité orthogonale de rapport a et d'axe l'axe des abscisses.
A titre indicatif j'ai eu 16 à cet exposé.

Pour mon Oral 2 voici mon sujet et la fiche que j'ai rédigé et rendu au jury et la aussi et toujours a titre indicatif j ai eu 14 a cet expose. oral 2

Bon courage et surtout bonne chance a tous!!!!!

1. Utilisation d’arbres, de tableaux, de diagrammes pour des exemples simples de dénombrement. Dénombrement des arrangements et des permutations. Exp1

2. Exemples de problèmes dont la résolution fait appel à l'utilisation de graphes orientés ou non. Exp 2

3. Coefficients binomiaux, dénombrement des combinaisons, formule du binôme, Applications. Exp 3

4. Description mathématique d’une expérience aléatoire : ensemble des événements élémentaires, événements, probabilité (on se limitera au cas où l’ensemble d’événements élémentaires est fini). Exp 4

5. Probabilité conditionnelle ; indépendance de deux événements (on se limitera au cas où l’ensemble d’épreuves est fini). Applications à des calculs de probabilité. Exp 5

6. Variable aléatoire à valeurs réelles dont l’ensemble des valeurs est fini. Loi de probabilité. Espérance mathématique, variance. Exemples. Exp 6

7. Schéma de Bernoulli et loi binomiale. Exemples.

8. Séries statistiques à deux variables numériques. Nuage de points associé. Ajustement affine par la méthode des moindres carrés. Droites de régression. Applications. L’exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l’utilisation d’une calculatrice. Exp 8

9. Division euclidienne dans Z, unicité du quotient et du reste. Applications. Exp 9

10. Congruences dans Z. Anneaux Z/nZ. Exp 10

11. PGCD et PPCM de deux entiers naturels. Nombres premiers entre eux. Applications. L’exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l’utilisation d’une calculatrice. Exp 11

12. Nombres premiers ; existence et unicité de la décomposition d’un nombre en facteurs premiers. Infinitude de l’ensemble des nombres premiers. Exemple(s) d’algorithme(s) de recherche de nombres premiers. L’exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l’utilisation d’une calculatrice. Exp 12

13. L’anneau Z ; sous-groupes additifs de Z. Les idéaux de Z sont principaux. Egalité de Bézout. Résolution dans Z d’une équation de la forme : ax + by = c. Exp 13

14. Nombres décimaux. Applications.

15. Construction du corps Q des rationnels. Exp 15

16. Introduction et construction du corps C des complexes. Propriétés. Exp 16

17. Racines n-ièmes d’un nombre complexe. Interprétation géométrique. Applications. Exp 17

18. Module et argument d’un nombre complexe. Interprétation géométrique, lignes de niveaux associés. Applications. Exp 18

19. Représentation géométrique des nombres complexes. Interprétation géométrique des applications z -> z + b, z -> az, z -> zbarre, où a et b appartiennent à C, a non nul. Exemples d’application à l’étude de configurations géométriques du plan. Exp 19

20. Etude de la fonction f : z ->(z-a)/(z-b), où a, b, z sont complexes. Lignes de niveau pour le module et l’argument de la fonction f. Applications. Exp 20

21. Fonction polynôme du second degré à coefficients réels. Mise sous forme canonique ; application à l’étude du sens de variation et à la représentation graphique de la fonction. Equations et inéquations du second degré. L’exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l’utilisation d’une calculatrice. Exp 21

22. Résolution des systèmes linéaires par opérations élémentaires sur les lignes. Méthode du pivot. Exemples. Exp 22

23. Caractérisation vectorielle d’une droite du plan. Représentations paramétriques. Génération des demi-droites, des segments. Parallélisme. Orthogonalité.

24. Théorème de Thalès. Projection dans le plan et dans l’espace, caractère affine des projections. Exp 24

25. Equation cartésienne d’une droite du plan. Problèmes d’intersection, parallélisme. Condition pour que trois droites soient concourantes. Exp 25

26. Equation cartésienne d’une droite du plan euclidien. Application à l’étude d’inéquations de la forme a cos t + b sin t >= c. Exp 26

27. Homothéties et translations ; transformation vectorielle associée. Invariants élémentaires : effet sur les directions, l’alignement, les distances... Applications à l’action sur les configurations usuelles. Exp 27

28. Réflexion du plan échangeant deux points donnés ; médiatrice, régionnement associé. Applications au triangle et au cercle (cercle circonscrit, angle inscrit...). Exp 28

29. Réflexions du plan échangeant deux droites sécantes données, bissectrices. Applications au triangle et au cercle (cercle inscrit, tangentes à un cercle...). Exp 29

30. Recherche des isométries du plan conservant un carré, un losange, en parallélogramme, un rectangle (dans l’ordre que l’on voudra). Exp 30

31. Droites remarquables du triangle: bissectrices, hauteurs, médianes, médiatrices... (dans l’ordre que l’on voudra). Exp 31

32. Rotations planes. Notion d'angle.

33. Projection orthogonale sur une droite du plan, projection vectorielle associée. Applications (calculs de distances et d'angles, optimisation...). Exp 33

34. Définition et propriétés du produit scalaire dans le plan ; expression dans une base orthonormale. Application au calcul de distances et d’angles. Exp 34

35. Le cercle. Positions relatives d’une droite et d’un cercle, de deux cercles. Point de vue géométrique et point de vue analytique. Lien entre les deux points de vue. Exp 35

36. Théorème de l’angle inscrit : ensemble des points M du plan tels que l’angle orienté de droites ou de demi-droites (MA,MB) soit constant. Cocyclicité. Applications.

37. Relations métriques dans un triangle rectangle. Trigonométrie. Applications.

38. Relations métriques et trigonométriques dans un triangle quelconque. Applications. Exp 38

39. Produit vectoriel dans l’espace euclidien orienté de dimension trois. Point de vue géométrique, point de vue analytique. Applications. Exp 39

40. Applications du produit scalaire et du produit vectoriel dans l’espace orienté : calculs de distances, d’aires, de volumes, d’angles...

41. Définition et propriétés du barycentre de n points pondérés. Associativité ; application à la détermination de barycentres attachés à des configurations usuelles du plan, de l'espace. Exp 41

42. Composées d’homothéties et de translations du plan. Relation vectorielle caractéristique. Groupe des homothéties-translations. Applications. Exp 42

43. Groupe des isométries du plan : décomposition d’une isométrie en produit de réflexions, groupe des déplacements, classification des isométries à partir de l’ensemble des points invariants. Exp 43

44. Etude des transformations du plan euclidien qui conservent les rapports de distances.

45. Recherche des isométries du plan conservant un polygone régulier; exemples (triangle équilatéral, carré, hexagone, octogone...). Exp 45

46. Droites et plans dans l’espace. Equations. Positions relatives ; plans contenant une droite donnée.

47. Orthogonalité dans l’espace affine euclidien : droites orthogonales, droite orthogonale à un plan, plans perpendiculaires. Applications.

48. Ellipse déduite d’un cercle par affinité orthogonale dans le plan. Applications. (en particulier, projection orthogonale d’un cercle sur un plan).

49. Réflexion de l’espace échangeant deux points donnés; plan médiateur, régionnement associé. Etude des isométries de l’espace ayant une droite de points invariants. Exp 49

50. Réflexions et rotations de l’espace. Invariants élémentaires : effet sur les distances, les angles... Applications à l’action sur les configurations usuelle

51. Courbes définies par des équations paramétriques dans le plan. Vecteur dérivé et tangente ; interprétation cinématique. Exp 51

52. Définitions de la parabole, géométriquement et par équation réduite ; équivalence entre ces définitions. Construction de la tangente et de la normale en un point. Exp 52

53. Définitions de l’ellipse, géométriquement et par équation réduite ; équivalence entre ces définitions. Exp 53

54. Définitions de l’hyperbole, géométriquement et par équation réduite ; équivalence entre ces définitions. Exp 54

55. Exemples de représentation paramétrique des coniques; constructions de la tangente et de la normale en un point à une parabole, une ellipse, une hyperbole.

56. Suites monotones, suites adjacentes. Approximation d’un nombre réel, développement décimal. L’exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l’utilisation d’une calculatrice. Exp 56

57. Suites convergentes. Opérations algébriques, composition par une application continue. Comparaison de suites entre elles. Exp 57

58. Rapidité de la convergence d'une suite réelle (u_n) vers une limite l. Cas où | u_n-l | est dominé par n^-a, par kⁿ... Exemples. L’exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l’utilisation d’une calculatrice.

59. Suites divergentes. Cas des suites admettant une limite infinie : comparaison, opérations algébriques, composition par une application. Exp 59

60. Etude des suites de terme général aⁿ, n^b et n!. Croissances comparées. Exemples de comparaison de suites aux suites précédentes. L’exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l’utilisation d’une calculatrice. Exp 60

61. Etude de suites de nombres réels définies par une relation de récurrence u_n+1 = f (u_n) et une condition initiale. L’exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l’utilisation d’une calculatrice.

62. Limite finie d’une fonction à valeurs réelles en un point a de R. Opérations algébriques sur les limites. Continuité d'une fonction en un point. Exemples. Exp 62

63. Limite à l’infini d’une fonction à valeurs réelles. Branches infinies de la courbe représentative d’une fonction. Exemples. L’exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l’utilisation d’une calculatrice. Exp 63

64. Image d’un intervalle par une fonction continue, image d’un segment. Continuité de la fonction réciproque d’une fonction continue strictement monotone sur un intervalle.

65. Fonction réciproque d’une fonction continue strictement monotone sur un intervalle de R. Propriétés. Exemples.

66. Méthodes d’approximation d’une solution d’une équation numérique réelle. Exemples. L’exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l’utilisation d’une calculatrice. Exp 66

67. Fonctions polynômes. Exp 67

68. Fonctions logarithmes. Exp 68

69. Fonctions exponentielles. Exp 69

70. Croissance comparée des fonctions réelles x |--> e^x, x |--> x^a et x |--> ln x au voisinage de +oo. Applications. L’exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l’utilisation d’une calculatrice. Exp 70

71. Dérivée en un point. Interprétation géométrique. Exemples. Exp 71

72. Fonctions dérivées. Opérations algébriques. Dérivée d’une fonction composée. Exemples. Exp 72

73. Formules de Taylor. Applications. Exp 73

74. Développements limités, opérations sur les développements limités. Exp 74

75. Applications du calcul différentiel à la recherche d’extrémums d’une fonction numérique d’une variable réelle. Exemples. L’exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l’utilisation d’une calculatrice. Exp 75

76. Comparaison des fonctions : domination, prépondérance, équivalence. Exemples et applications.

77. Fonctions convexes d’une variable réelle. Applications. Exp 77

78. Théorème de Rolle. Applications. Exp 78

79. Inégalité des accroissements finis. Exemples d’applications à l’étude de suites et de fonctions. L’exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l’utilisation d’une calculatrice. Exp 79

80. Caractérisation des fonctions exponentielles réelles par l’équation fonctionnelle : f(x+y) = f(x) x f(y). Applications.

81. Résolution des équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants sans second membre. Exemples. Exp 81

82. Primitives d’une fonction continue sur un intervalle ; définition et propriétés de l’intégrale, inégalité de la moyenne. Applications. Exp 82

83. Intégration par parties. Exemples de changements de variable. Applications. Exp 83

84. Diverses méthodes de calcul approché d’intégrales définies. L’exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l’utilisation d’une calculatrice.

85. Exemples d'approximation d'une solution d'une équation différentielle par la méthode d'Euler. L’exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l’utilisation d’une calculatrice.